Persamaan Diferensial Eksak dan Non Eksak

Persamaan Diferensial Eksak

Suatu Persamaan Diferensial ordo satu yang berbentuk

(7)                               M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0

disebut Persamaan Diferensial Eksak jika ruas kirinya adalah diferensial total atau diferensial eksak

(8)                               

dari suatu fungsi u(x,y). Maka Persamaan Diferensial (7) dapat ditulis dengan

du = 0.

Dengan pengintegralan akan diperoleh selesaian umum dari (1) yang berbentuk

(9)                                           u(x,y) = c.

Dengan membandingkan (7) dan (8) kita mengetahui bahwa (7) adalah Persamaan Diferensial Eksak jika ada suatu fungsi u(x,y) sedemikian hingga

(10)                                        

 

Misal M dan N terdifinisikan dan mempunyai turunan par-sial pertama yang kontinen dalam suatu daerah di bidang xy yang batas-batasnya berupa kurva tutup yang tidak mempunyai iri-san mandiri (self-intersections). Maka dari (10) diperoleh

Dengan asumsi kontinuitas, maka dua turunan kedua di atas adalah sama. Jadi

(11)                                         

Syarat ini bukan hanya perlu tetapi juga cukup untuk Mdx+Ndy menjadi diferensial

total.

Jika (7) eksak, maka fungsi u(x,y) dapat ditemukan dengan perkiraan atau dengan cara sistematis seperti berikut. Dari (10a) dengan pengintegralan terhadap x

Diperoleh

(12)                                         

dalam pengintegralan ini, y dipandang sebagai suatu konstan, dan k(y) berperan

sebagai konstan integrasi. Untuk menentukan k(y), kita turunkan ¶u/¶y dari (12),

gunakan (10b) untuk mendapatkan dk/dy, dan integralkan.

Rumus (12) diperoleh dari (10a). Secara sama kita bisa menggunakan rumus

(10b) untuk mendapatkan rumus (12*) yang mirip dengan (12) yaitu

(12*)                                        

Untuk menentukan l(x) kita turunkan ¶u/¶x dari (12*), gunakan (10a) untuk

mendapatkan dl/dx, dan intergralkan.

Contoh 6 Persamaan Diferensial Eksak

Selesaikan

xy’ + y + 4 = 0.

Penyelesaian.

Persamaan di atas ditulis dalam bentuk (7), yaitu

(y+4)dx + xdy = 0.

Kita lihat bahwa

M = y+4, dan

N = x.

Jadi (11) dipenuhi, sehingga persamaannya adalah eksak.

Dari (12*) diperoleh

Untuk menentukan l(x), rumus di atas diturunkan terhadap x dan gunakan rumus

(10a) untuk mendapatkan

Jadi

dl/dx = 4, atau

l = 4x+c*.

Jadi selesaian umum Persamaan Diferensial berbentuk

u = xy+l(x)

  = xy+4x+c*

   = konstan.

Pembagian dengan x menghasilkan

y = c/x+4.

Catatan: Persamaan Diferensial Eksak

Persamaan di atas bisa ditulis menjadi

ydx + xdy = -4dx.

Ruas kiri adalah diferensial total dari xy, yaitu d(xy), sehingga jika diintegralkan akan

diperoleh xy = -4x+c, yang sama dengan penyelesaian dengan menggunakan metode sistematis.

Contoh 7

Selesaikan Persamaan Diferensial Eksak:

2xsin3ydx + (3x²cos3y+2y)dy = 0.

Penyelesaian.

Dengan (11) terbukti bahwa PDnya eksak.

Dari (12) diperoleh

Jika diturunkan terhadap y diperoleh

Jadi

Selesaian umumnya adalah u = konstan atau

Perhatikan!

Metode kita memberikan selesaian dalam bentuk implisit

u(x,y) = c = konstan,

bukan dalam bentuk eksplisit y = f(x).

Untuk mengeceknya, kita turunkan u(x,y) = c secara implisit. Dan dilihat apakah

akan menghasilkan

dy/dx = -M/N atau

Mdx + Ndy = 0,

seperti persamaan semula atau tidak.

Contoh 8. Kasus tidak eksak

Perhatikan Persamaan Diferensial

ydx-xdy=0.

Terlihat bahwa

M=y dan N=-x

Sehingga

Tetapi

Jadi Persamaan Diferensialnya tidak eksak. Dalam kasus demikian metode kita tidak berlaku: dari (12),

sehingga

Ini harus sama dengan

N=-x.

Hal ini tidak mungkin, karena k(y) hanya fungsi dari y saja. Jika digunakan (12*)

juga akan menghasilkan hal yang sama. Untuk menyelesaikan Persamaan Diferensialtak eksak yang

demikian ini diperlukan metode yang lain.

Jika suatu Persamaan Diferensial itu eksak, maka kita bisa mengubah menjadi tak eksak dengan

membagi dengan suatu fungsi tertentu. Sebagai contoh,

xdx+ydy=0

adalah Persamaan Diferensial Eksak, tetapi dengan membagi dengan y akan diperoleh Persamaan Diferensial tak eksak

x/ydx+dy=0.

Demikian juga suatu Persamaan Diferensial tak eksak, mungkin bisa diubah menjadi eksak dengan

dibagi/dikalikan dengan suatu fungsi tertentu (yang cocok). Metode ini akan dibahas

dalam pasal berikutnya.

 

Contoh soal:

1. Tentukan apakah persamaan  diferensial y dx - x dy = 0 adalah eksak

           pembahasan:

           M (x,y) = y dan N (x,y) = -1.Disini 

         

          Yang nilainya tidak sama,sehingga persamaan diferensial dalam bentuk yang diberikan ini       tidak eksak.